Simplifica (x + y)(x − y) + y(y − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Leer los corchetes como agrupación ordinaria. $[\ ]$ y $(\ )$ significan lo mismo aquí, así que la expresión es $(x+y)(x-y)+y(y-2)$: un producto de dos binomios más un monomio por un binomio.

2. 2

   Desarrollar el primer producto con la diferencia de cuadrados. Los dos paréntesis son conjugados, así que

   $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$

   Usar la identidad es mejor que multiplicar término a término, porque los términos cruzados $+xy$ y $-xy$ se cancelan con seguridad.

3. 3

   Desarrollar el segundo producto distribuyendo $y$.

   $y(y-2)=y^2-2y$

4. 4

   Sumar los dos resultados y ver cómo se aniquilan los términos $y^2$.

   $x^2-y^2+y^2-2y=x^2-2y$

   El $-y^2$ de la identidad compensa exactamente el $+y^2$ de la distribución: en eso consiste todo el problema.

5. 5

   Comprobar numéricamente. En $x=3$, $y=2$: la expresión original es $(5)(1)+2(0)=5$, y $x^2-2y=9-4=5$ ✓. En $x=1$, $y=4$: la original es $(5)(-3)+4(2)=-15+8=-7$, y $1-8=-7$ ✓.