Resuelve la inecuación (14^x − 7^(x+1) − 2^(x+1) + 14)/(−x² + 4x) ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribe cada exponencial en base $2$ y base $7$. Como $14=2\cdot 7$, resulta $14^x=2^x7^x$; además $7^{x+1}=7\cdot 7^x$ y $2^{x+1}=2\cdot 2^x$. El numerador queda $2^x7^x-7\cdot 7^x-2\cdot 2^x+14$.

2. 2

   Agrupa los cuatro términos en un producto. $7^x(2^x-7)-2(2^x-7)=(7^x-2)(2^x-7)$. Los ceros son $7^x=2\Rightarrow x=\log_7 2\approx 0.356$ y $2^x=7\Rightarrow x=\log_2 7\approx 2.807$.

3. 3

   Factoriza el denominador. $-x^2+4x=x(4-x)$, que se anula en $x=0$ y $x=4$; los dos quedan excluidos del dominio. Ordenando los cuatro valores críticos resulta $0<\log_7 2<\log_2 7<4$.

4. 4

   Signo del numerador. $(7^x-2)$ es negativo para $x<\log_7 2$ y positivo después; $(2^x-7)$ es negativo para $x<\log_2 7$ y positivo después. Así que el producto es positivo en $(-\infty,\log_7 2)$, negativo en $(\log_7 2,\log_2 7)$ y positivo en $(\log_2 7,\infty)$.

5. 5

   Signo del denominador. $x(4-x)$ es una parábola que abre hacia abajo con raíces $0$ y $4$: negativa fuera de $[0,4]$ y positiva estrictamente entre ellas.

6. 6

   Combina y elige las regiones donde el cociente es no negativo. $(-\infty,0)$: $+/-=-$. $(0,\log_7 2)$: $+/+=+$. $(\log_7 2,\log_2 7)$: $-/+=-$. $(\log_2 7,4)$: $+/+=+$. $(4,\infty)$: $+/-=-$. Los dos ceros del numerador se incluyen porque la desigualdad no es estricta y allí el denominador no se anula.

7. 7

   Comprueba un punto en cada región aceptada. En $x=0.2$ el numerador es $14^{0.2}-7^{1.2}-2^{1.2}+14\approx 3.067$ sobre un denominador de $0.76$, lo que da alrededor de $4.04>0$. En $x=3$ el numerador es $2744-2401-16+14=341$ sobre $-9+12=3$, lo que da $\tfrac{341}{3}\approx 113.7>0$.