Usar un formato vertical para hallar el producto de 4x³ + x² + 2x + 6 y x + 5, y luego simplificar.

Step-by-step solution

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   Entender qué aporta el «formato vertical». Disponer la multiplicación como una multiplicación larga de números significa generar dos productos parciales — uno por cada término del binomio — y luego sumarlos con las potencias iguales apiladas en la misma columna. Esa alineación por columnas es lo que evita el error clásico de combinar un término en $x^{3}$ con uno en $x^{2}$.

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   Formar el primer producto parcial distribuyendo $x$. Multiplicar cada término del cúbico por $x$ sube en uno todos los exponentes:

   $x\left(4x^{3}+x^{2}+2x+6\right)=4x^{4}+x^{3}+2x^{2}+6x$

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   Formar el segundo producto parcial distribuyendo $5$. Aquí solo cambian los coeficientes:

   $5\left(4x^{3}+x^{2}+2x+6\right)=20x^{3}+5x^{2}+10x+30$

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   Sumar las dos filas columna por columna. Agrupando por potencia de $x$:

   $4x^{4}+\left(x^{3}+20x^{3}\right)+\left(2x^{2}+5x^{2}\right)+\left(6x+10x\right)+30$

   Nótese que $4x^{4}$ no tiene pareja (solo la fila del $x$ produjo un término de cuarto grado) y $30$ tampoco la tiene (solo la fila del $5$ produjo una constante).

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   Reducir y enunciar el resultado.

   $4x^{4}+21x^{3}+7x^{2}+16x+30$

   Una comprobación rápida de grados: un factor de grado $3$ por un factor de grado $1$ debe dar grado $4$, y el coeficiente principal debe ser $4\cdot 1=4$. Se cumplen las dos cosas.

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   Verificar con valores de prueba. En $x=0$, tanto la forma factorizada como la desarrollada dan $6\cdot 5=30$. En $x=1$ ambas dan $13\cdot 6=78$, en $x=2.5$ ambas dan $598.125$ y en $x=-1.3$ ambas dan $-13.6826$. La coincidencia en cuatro puntos es una evidencia fuerte; un quinto determinaría por completo un polinomio de grado $4$.