Un polinomio f(x) deja resto 2x + 1 al dividirlo entre 2x² − 3x + 4. ¿Cuál es el resto al dividir f(x)³ entre 2x² − 3x + 4? Elige entre 26x − 47, 27x − 48, 28x − 49, 29x − 50 y 30x − 51.

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe qué significa el resto dado. Existe un cociente $q(x)$ tal que

   $f(x)=q(x)\left(2x^{2}-3x+4\right)+(2x+1).$

   Escribe $D(x)=2x^{2}-3x+4$ para abreviar.

2. 2

   Eleva al cubo y descarta todo lo divisible entre D. Al desarrollar $\left[q D+(2x+1)\right]^{3}$, todos los términos salvo el último contienen al menos un factor $D$, así que desaparecen en la división:

   $\{f(x)\}^{3}\equiv (2x+1)^{3}\pmod{D(x)}.$

   Esta es la jugada clave: nunca hace falta conocer $q(x)$ ni siquiera el grado de $f$.

3. 3

   Desarrolla el cubo.

   $(2x+1)^{3}=8x^{3}+12x^{2}+6x+1.$

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   Divide entre D(x): primer paso. Los términos principales dan $\dfrac{8x^{3}}{2x^{2}}=4x$:

   $8x^{3}+12x^{2}+6x+1-4x\left(2x^{2}-3x+4\right)=24x^{2}-10x+1.$

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   Divide entre D(x): segundo paso. Ahora $\dfrac{24x^{2}}{2x^{2}}=12$:

   $24x^{2}-10x+1-12\left(2x^{2}-3x+4\right)=26x-47.$

   El grado ha bajado por debajo de $2$, así que la división termina aquí.

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   Escribe y comprueba la respuesta. El resto es $26x-47$, que corresponde a la opción ①. Verificación: $(4x+12)\left(2x^{2}-3x+4\right)+26x-47=8x^{3}+12x^{2}+6x+1=(2x+1)^{3}$ ✓.