Reescribe la expresión x² + 8xy + 16y² − 4z en una forma más simple.

Step-by-step solution

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   Comprueba si los tres primeros términos forman un cuadrado perfecto. Un trinomio $A^2 + 2AB + B^2$ necesita que sus términos extremos sean cuadrados y que el término central sea el doble de su producto. Aquí $x^2 = (x)^2$ y $16y^2 = (4y)^2$, y

   $2 \cdot x \cdot 4y = 8xy$

   que coincide exactamente con el término central.

2. 2

   Escribe el cuadrado.

   $x^2 + 8xy + 16y^2 = (x + 4y)^2$

3. 3

   Vuelve a juntarlo con el término restante.

   $x^2 + 8xy + 16y^2 - 4z = (x + 4y)^2 - 4z$

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   Explica por qué no se puede ir más lejos. La forma $(x+4y)^2 - 4z$ es una diferencia de cuadrados solo si $4z$ es a su vez un cuadrado, es decir, si $z = w^2$ para alguna expresión $w$; entonces se factorizaría como $\left(x + 4y - 2w\right)\left(x + 4y + 2w\right)$. Con $z$ como variable independiente sin restricciones, no existe ninguna factorización adicional dentro del anillo de polinomios.

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   Comprueba numéricamente. En $(x, y, z) = (3, -1, 2)$: la expresión original da $9 - 24 + 16 - 8 = -7$, y $(3 - 4)^2 - 8 = 1 - 8 = -7$. En $(2, 1, 0)$: $4 + 16 + 16 - 0 = 36$ y $(2+4)^2 = 36$. Ambas coinciden.