Resuelve el sistema x² + y² + xy = 7 y x + y + xy = 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Introduce las cantidades simétricas elementales. Las dos ecuaciones son simétricas en $x$ e $y$, así que toma

   $s=x+y,\qquad p=xy$

   Usando $x^{2}+y^{2}=s^{2}-2p$, la primera ecuación se convierte en

   $s^{2}-2p+p=s^{2}-p=7$

   y la segunda es sencillamente $s+p=5$.

2. 2

   Resuelve el pequeño sistema en s y p. De la segunda, $p=5-s$; sustituyendo en la primera:

   $s^{2}-(5-s)=7\quad\Longrightarrow\quad s^{2}+s-12=0\quad\Longrightarrow\quad (s+4)(s-3)=0$

   así que $s=3$ o $s=-4$.

3. 3

   Prueba la rama s = 3. Entonces $p=5-3=2$, y $x,y$ son las raíces de

   $t^{2}-st+p=t^{2}-3t+2=0\quad\Longrightarrow\quad (t-1)(t-2)=0$

   lo que da $\{x,y\}=\{1,2\}$.

4. 4

   Prueba la rama s = −4. Entonces $p=5-(-4)=9$, y $x,y$ serían las raíces de

   $t^{2}+4t+9=0$

   cuyo discriminante vale $16-36=-20<0$. Esta rama no aporta ninguna solución real y hay que descartarla — comprobar $s^{2}\ge 4p$ es la prueba estándar para saber si un par simétrico es realizable sobre los reales.

5. 5

   Enuncia las soluciones.

   $\boxed{(x,y)=(1,2)\ \text{o}\ (2,1)}$

6. 6

   Verifica. Para $(1,2)$: $1+4+2=7$ ✓ y $1+2+2=5$ ✓. El par $(2,1)$ funciona igual porque el sistema es simétrico — lo que explica además que las soluciones aparezcan en parejas intercambiadas y no sueltas.