Resolver la ecuación x² = 2x + 17.

Step-by-step solution

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   Lleva la ecuación a la forma general. Resta $2x$ y $17$ en ambos lados para que un lado quede en cero:

   $x^{2}-2x-17=0$

   así que $a=1$, $b=-2$, $c=-17$. Los dos términos que se pasaron cambian de signo.

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   Calcula el discriminante.

   $\Delta=(-2)^{2}-4(1)(-17)=4+68=72$

   Como $\Delta=72>0$, hay dos raíces reales distintas. No es un cuadrado perfecto, así que factorizar sobre los enteros es imposible: ninguna pareja de enteros multiplica $-17$ y suma $-2$, porque $17$ es primo.

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   Aplica la fórmula general.

   $x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{72}}{2(1)}=\frac{2\pm\sqrt{72}}{2}$

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   Simplifica el radical antes de cancelar. Extrae el mayor factor cuadrado: $72=36\cdot2$, así que $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$. Entonces

   $x=\frac{2\pm6\sqrt{2}}{2}=\frac{2\left(1\pm3\sqrt{2}\right)}{2}=1\pm3\sqrt{2}$

   Dejar $\sqrt{72}$ sin simplificar esconde el factor común $2$ e impide la cancelación limpia.

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   Verifica ambas raíces. Por Vieta: la suma debe ser $-b/a=2$, y $\left(1+3\sqrt2\right)+\left(1-3\sqrt2\right)=2$ ✓. El producto debe ser $c/a=-17$, y $1^{2}-\left(3\sqrt2\right)^{2}=1-18=-17$ ✓. Numéricamente $x\approx5.2426$ y $x\approx-3.2426$, y ambos dejan residuos por debajo de $10^{-11}$ en $x^{2}-2x-17$ ✓.