Simplifica la raíz cuadrada de −140.

Step-by-step solution

1. 1

   Extrae la unidad imaginaria antes que nada. Por definición $i=\sqrt{-1}$, así que para $a>0$:

   $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{-140}=i\sqrt{140}$

   Hacerlo primero mantiene todos los pasos posteriores dentro de los números reales, donde las reglas habituales de los radicales sí son válidas.

2. 2

   Halla el mayor factor cuadrado perfecto de $140$. Su descomposición en factores primos es $140=2^2\times 5\times 7$, así que la parte cuadrada es $4$:

   $140=4\times 35$

3. 3

   Simplifica el radical real.

   $\sqrt{140}=\sqrt4\cdot\sqrt{35}=2\sqrt{35}$

   y $35=5\times 7$ está libre de cuadrados, así que no sale nada más.

4. 4

   Junta las piezas.

   $\sqrt{-140}=2i\sqrt{35}$

5. 5

   Comprueba elevando al cuadrado. $\left(2i\sqrt{35}\right)^2=4i^2\cdot 35=4(-1)(35)=-140$ $\checkmark$. Numéricamente $2\sqrt{35}\approx 11.8322$, así que el valor es aproximadamente $11.8322i$.