Resuelve la inecuación x² − 2x − 1 > 0.

Step-by-step solution

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   Intentar factorizar primero y ver por qué falla. Los divisores enteros de $-1$ son solo $\pm1$, y ningún par suma $-2$. Así que este trinomio no factoriza sobre los enteros, lo que significa que los puntos frontera los tiene que aportar la fórmula general y no la factorización.

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   Resolver la ecuación asociada con la fórmula general. Con $a=1$, $b=-2$, $c=-1$:

   $x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-1)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2$

   El discriminante $8$ es positivo pero no es un cuadrado perfecto, de ahí las fronteras irracionales.

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   Anotar los valores numéricos de las fronteras. $1-\sqrt2\approx-0.4142$ y $1+\sqrt2\approx2.4142$. Tener los decimales a mano vuelve concretos tanto el razonamiento de signos como la comprobación final.

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   Usar hacia dónde se abre la parábola en lugar de una tabla de signos. El coeficiente principal $a=1$ es positivo, así que la gráfica es una parábola hacia arriba que corta al eje en esos dos puntos. Una parábola hacia arriba es negativa entre sus raíces y positiva fuera de ellas. Como la inecuación pide $>0$, se toma la parte exterior:

   $x<1-\sqrt2\qquad\text{o}\qquad x>1+\sqrt2$

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   Confirmar con puntos de prueba. En $x=0$ (dentro): $0-0-1=-1<0$, correctamente excluido. En $x=-1$ (izquierda): $1+2-1=2>0$ ✓. En $x=3$ (derecha): $9-6-1=2>0$ ✓.

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   Atender al carácter estricto y escribir la notación de intervalos. La desigualdad es estricta, así que las propias raíces, donde la expresión vale exactamente $0$, quedan excluidas:

   $(-\infty,\,1-\sqrt2)\cup(1+\sqrt2,\,\infty)$

   Un barrido de $1201$ puntos a lo largo de $[-6,6]$ coincide con este conjunto en todos ellos ✓.