Factoriza la cuadrática 10x² − 3x − 4 en dos binomios.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea el producto AC. Cuando el coeficiente principal no es $1$, el ensayo y error con binomios es lento. En su lugar multiplica el coeficiente principal por el término constante:

   $a\cdot c=10\cdot(-4)=-40$

   Ahora necesitas dos enteros cuyo producto sea $-40$ y cuya suma sea el coeficiente central $b=-3$.

2. 2

   Halla la pareja. Como el producto es negativo, los dos números tienen signos opuestos, y el de mayor magnitud debe llevar el menos para que la suma sea negativa. Recorriendo las parejas de factores de $40$ —$(1,40),(2,20),(4,10),(5,8)$— la última funciona:

   $5\cdot(-8)=-40,\qquad 5+(-8)=-3$

3. 3

   Parte el término central con esa pareja. Sustituye $-3x$ por $5x-8x$ (el orden no importa, solo la agrupación que viene después):

   $10x^2-3x-4=10x^2+5x-8x-4$

4. 4

   Agrupa de dos en dos y factoriza cada grupo.

   $(10x^2+5x)+(-8x-4)=5x(2x+1)-4(2x+1)$

   La señal de que partiste bien es que los dos grupos dejan el mismo binomio $2x+1$. Si no coinciden, elegiste la pareja equivocada o agrupaste al revés.

5. 5

   Extrae el binomio común y verifica.

   $5x(2x+1)-4(2x+1)=(2x+1)(5x-4)$

   Desarrollando de vuelta: $(2x+1)(5x-4)=10x^2-8x+5x-4=10x^2-3x-4$, que coincide. Por lo tanto las raíces son $x=-\tfrac12$ y $x=\tfrac45$.