Un caracol se arrastra de un árbol a otro y cada día recorre la misma distancia adicional respecto del día anterior. Entre el primer día y el último recorrió 10 metros en total. Los árboles están a 150 metros de distancia. ¿Cuántos días duró el recorrido?

Step-by-step solution

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   Identificar la sucesión. «La misma distancia adicional cada día» significa que las distancias diarias $a_1,a_2,\ldots,a_n$ forman una progresión aritmética. La distancia total es la suma de la progresión, y ese total es de $150$ m.

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   Elegir la forma de la suma que encaja con los datos. Las dos fórmulas estándar son

   $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\qquad\text{y}\qquad S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

   El enunciado da directamente $a_1+a_n=10$, así que la primera forma no necesita conocer $a_1$ ni la diferencia común $d$: eso es lo que hace que el problema se pueda resolver con tan pocos datos.

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   Sustituir.

   $150=\frac{10}{2}\cdot n=5n$

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   Despejar n.

   $n=\frac{150}{5}=30$

   $\boxed{30\ \text{días}}$

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   Comprobar con una progresión concreta. Sirve cualquier progresión aritmética con $a_1+a_{30}=10$; por ejemplo $a_1=1$ y $a_{30}=9$, de donde $d=\tfrac{9-1}{29}=\tfrac{8}{29}$. Su suma es $\tfrac{1+9}{2}\cdot 30=150$ m ✓. Las distancias diarias concretas no quedan determinadas, pero el número de días sí, porque la fórmula de la suma solo ve la pareja $a_1+a_n$.