Resuelve la desigualdad x(x³ + 1) > (x³ + 1)(x² − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   No dividir entre el factor común: hay que restar. Cancelar $x^3+1$ en ambos miembros sería fatal, porque su signo se desconoce y además puede ser cero. Se pasa todo a un miembro y se factoriza:

   $\left(x^3+1\right)\Big[x - \left(x^2-2\right)\Big] > 0 \quad \Longrightarrow \quad \left(x^3+1\right)\left(-x^2+x+2\right) > 0$

2. 2

   Factorizar cada pieza por completo. La primera es una suma de cubos; la segunda, una cuadrática con coeficiente principal negativo:

   $x^3+1 = (x+1)\left(x^2-x+1\right)$

   $-x^2+x+2 = -(x-2)(x+1) = (2-x)(x+1)$

   El factor $x+1$ aparece en las dos, y ahí está la clave del problema.

3. 3

   Reunir el factor repetido. Al combinar aparece un cuadrado:

   $(x+1)\left(x^2-x+1\right)(2-x)(x+1) = (x+1)^2\left(x^2-x+1\right)(2-x) > 0$

   Volver a desarrollar esto en $x = 0,\ 3,\ -5,\ \tfrac74$ reproduce exactamente $x(x^3+1) - (x^3+1)(x^2-2)$, así que la factorización es correcta.

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   Mostrar que el factor cuadrático es siempre positivo. Para $x^2 - x + 1$ el discriminante es

   $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$

   y el coeficiente principal es positivo, así que $x^2 - x + 1 > 0$ para todo $x$ real (su mínimo vale $\tfrac34$ en $x = \tfrac12$). Por lo tanto se puede descartar por completo del análisis de signos.

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   Reducir a una única condición de signo. Como $x^2-x+1 > 0$ siempre y $(x+1)^2 \ge 0$ con igualdad solo en $x = -1$, el producto es positivo exactamente cuando

   $2 - x > 0 \quad \text{y} \quad x \ne -1$

   El cuadrado no invierte ningún signo: lo que hace es perforar el conjunto solución en $x = -1$, donde el producto vale $0$ y la desigualdad estricta no se cumple.

6. 6

   Escribir el conjunto solución y comprobarlo por puntos.

   $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 2)$

   Probar una malla de $1001$ valores racionales de $-5$ a $5$ en aritmética exacta da coincidencia en todos los puntos. Nótese que la misma respuesta resuelve la forma invertida $\left(x^3+1\right)\left(x^2-2\right) < x\left(x^3+1\right)$, que es la misma desigualdad con los miembros intercambiados.