Halla el cociente de (x³ + 7x² + 7x − 15) entre (x + 3).

Step-by-step solution

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   Predice el resto antes de dividir. Por el teorema del resto, el resto es el dividendo evaluado en $x=-3$: $(-27)+7(9)+7(-3)-15=-27+63-21-15=0$. Un valor nulo significa que $x+3$ es un factor, así que la división será exacta.

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   Primer paso. $\dfrac{x^3}{x}=x^2$. Multiplica de vuelta: $x^2(x+3)=x^3+3x^2$. Resta: $7x^2-3x^2=4x^2$, y baja $7x$ para obtener $4x^2+7x$.

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   Segundo paso. $\dfrac{4x^2}{x}=4x$. Multiplica de vuelta: $4x(x+3)=4x^2+12x$. Resta: $7x-12x=-5x$, y baja $-15$ para obtener $-5x-15$.

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   Tercer paso. $\dfrac{-5x}{x}=-5$. Multiplica de vuelta: $-5(x+3)=-5x-15$. Resta: $0$, exactamente como se predijo en el paso 1.

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   Lee el cociente y sigue factorizando. El cociente es $x^2+4x-5$, que se factoriza como $(x+5)(x-1)$. Así que la factorización completa de la cúbica es $(x+3)(x+5)(x-1)$, y sus raíces son $-3$, $-5$ y $1$.

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   Verifica desarrollando. $(x+3)(x^2+4x-5)=x^3+4x^2-5x+3x^2+12x-15=x^3+7x^2+7x-15$, que reproduce exactamente el dividendo.