Resuelve 2(x - 1.6)² + (x - 1.5)² = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Observa que todos los términos del miembro izquierdo son no negativos. Para $x$ real, $(x-1.6)^2 \ge 0$ y $(x-1.5)^2 \ge 0$, y multiplicar el primero por la constante positiva $2$ conserva esa propiedad. Así que el miembro izquierdo es una suma de dos cantidades no negativas.

2. 2

   Aplica el principio de la suma nula para cantidades no negativas. Una suma de números no negativos vale $0$ únicamente cuando todos los términos valen $0$. Aquí eso obliga a que $2(x-1.6)^2 = 0 \quad\text{y}\quad (x-1.5)^2 = 0,$ es decir, $x = 1.6$ y $x = 1.5$ a la vez.

3. 3

   Detecta la contradicción. Un mismo número no puede ser $1.6$ y $1.5$ al mismo tiempo, así que ningún $x$ real cumple las dos condiciones. Por lo tanto la ecuación no tiene solución real.

4. 4

   Confírmalo algebraicamente desarrollando. $2(x-1.6)^2 = 2x^2-6.4x+5.12$ y $(x-1.5)^2 = x^2-3x+2.25$, de modo que la ecuación queda $3x^2-9.4x+7.37 = 0.$

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   Comprueba el discriminante de la forma desarrollada. $\Delta = (-9.4)^2-4(3)(7.37) = 88.36-88.44 = -0.08 < 0$, lo que confirma de forma independiente que no hay ninguna raíz real. El margen es pequeño, y justo por eso el argumento estructural de los pasos anteriores resulta aquí más seguro que la aritmética decimal.

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   Lee el significado práctico. Esto es el residuo de un ajuste por mínimos cuadrados: el mínimo de $3x^2-9.4x+7.37$ se alcanza en $x = \tfrac{9.4}{6} \approx 1.5667$ con valor $\tfrac{0.08}{12} \approx 0.00667 > 0$. El mejor compromiso entre $1.6$ y $1.5$ es $x \approx 1.5667$, pero la suma nunca llega realmente a cero.