Si 2x^(2a − b − 1) − 3y^(3a + 2b − 16) = 10 es una ecuación lineal en dos variables, halla a y b.

Step-by-step solution

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   Traducir «lineal en dos variables» a condiciones sobre los exponentes. Por definición, una ecuación así tiene $x$ e $y$ elevadas a la primera potencia con coeficientes no nulos. Como los coeficientes $2$ y $-3$ ya son no nulos, el único requisito es

   $2a-b-1=1\qquad\text{y}\qquad 3a+2b-16=1$

2. 2

   Ordenar las dos condiciones en un sistema.

   $\begin{cases}2a-b=2\\3a+2b=17\end{cases}$

3. 3

   Resolver por sustitución. De la primera ecuación, $b=2a-2$. Al sustituir en la segunda:

   $3a+2(2a-2)=17\quad\Longrightarrow\quad 3a+4a-4=17\quad\Longrightarrow\quad 7a=21\quad\Longrightarrow\quad a=3$

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   Sustituir hacia atrás para hallar b.

   $b=2(3)-2=4$

   $\boxed{a=3,\ b=4}$

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   Verificar que ambos exponentes valen realmente 1. $2a-b-1=6-4-1=1$ ✓ y $3a+2b-16=9+8-16=1$ ✓, así que la ecuación queda $2x-3y=10$, visiblemente lineal. Comprobar los dos exponentes (y no solo uno) importa, porque un par que cumpliera una sola condición dejaría suelto un cuadrado o un cubo.