Resolver x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.074296 = 0.

Step-by-step solution

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   Ver por qué las raíces tienen que repartirse en una enorme y dos minúsculas. En $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.074296=0$ el coeficiente cuadrático deja pequeño a todo lo demás. Vieta dice que las tres raíces suman $245.711$ y su producto es $-0.074296$, un número cercano a cero, así que una raíz tiene que cargar con casi toda la suma mientras las otras dos son lo bastante pequeñas para mantener el producto diminuto. Reconocer esa estructura es lo que permite partir el problema en dos subproblemas fáciles.

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   Hallar las dos raíces pequeñas descartando $x^{3}$. Si $|x|$ es solo de unas centésimas, entonces $x^{3}$ es del orden de $10^{-5}$, absolutamente despreciable frente a $245.711x^{2}$. Al suprimirlo queda la cuadrática $245.711x^{2}-2.764156x-0.074296=0,$ cuyo discriminante es $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.074296)=80.6619362163,\qquad \sqrt{D}=8.9811990411.$ La fórmula general da entonces $x\approx -0.012651129\quad\text{y}\quad x\approx 0.023900751.$

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   Refinar esas dos con un paso de Newton. El término $x^{3}$ descartado desplaza cada raíz en la séptima cifra decimal, y aplicar el método de Newton $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ a la cúbica completa converge a $x=-0.012650903\qquad\text{y}\qquad x=0.023902272.$ Frente a las estimaciones de la cuadrática, las correcciones son de solo $2.3\times 10^{-7}$ y $1.5\times 10^{-6}$, que es exactamente lo que prometía «descartar $x^{3}$»: el término despreciado era de tamaño $10^{-5}$ frente a un término $245.711x^{2}$ de tamaño $10^{-1}$.

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   Obtener la raíz grande a partir de la suma de raíces, no de la fórmula de la cúbica. Como las tres raíces deben sumar $245.711$, $x_{\text{grande}}=245.711-\left(-0.012650903+0.023902272\right)=245.699748632.$ Sustituir este valor en $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.074296$ devuelve cero con doce cifras significativas.

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   Verificar con las dos relaciones de Vieta. Las tres raíces $-0.012650903$, $0.023902272$ y $245.699748632$ suman exactamente $245.711000000$ y su producto es $-0.074296$, que coincide con $-c$, como debe ser. La comprobación que de verdad importa aquí es la del producto: un par de raíces pequeñas puede estar mal y seguir cumpliendo la suma, porque la raíz grande simplemente absorbe la diferencia; solo el producto delata el error.

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   Escribir el conjunto solución. $x=-0.012650903,\qquad x=0.023902272,\qquad x=245.699748632.$ Las tres raíces son reales, coherente con una cúbica que corta el eje una vez justo por debajo de cero, otra justo por encima y otra muy lejos, en $245.7$.