Resuelve 2x³ + 33x² + 180x − 300 = 0. ¿Cuántas raíces reales tiene y cuáles son?

Step-by-step solution

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   Descarta las raíces racionales. Los candidatos son $\pm\frac{p}{q}$ con $p\mid 300$ y $q\mid 2$. Probando los pequeños más plausibles con $f(x)=2x^{3}+33x^{2}+180x-300$:

   $f(1)=2+33+180-300=-85,\quad f(2)=16+132+360-300=208,$

   $f(-5)=-250+825-900-300=-625,\quad f(-10)=-2000+3300-1800-300=-800.$

   Ninguno se anula, y tampoco lo hace ningún otro candidato, así que la cúbica es irreducible sobre los racionales y no se puede factorizar a simple vista.

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   Cuenta las raíces reales con el discriminante. Para $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ el discriminante es

   $\Delta=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}=-42{,}120{,}000.$

   Como $\Delta<0$ hay exactamente una raíz real y un par conjugado de raíces complejas. Eso resuelve la cuestión del recuento antes de cualquier trabajo numérico: un barrido de $f$ en $[-100,20]$ muestra, en efecto, un único cambio de signo, cerca de $x=1.32$.

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   Encierra la raíz real y bisecta. De $f(1)=-85<0$ y $f(2)=208>0$ se sigue que la raíz está en $(1,2)$. Partiendo por la mitad repetidamente y quedándose siempre con la mitad donde cambia el signo se converge a

   $x\approx 1.321083731.$

   Comprobación: $f(1.321083731)\approx+4.4\times10^{-8}$ ✓. Una cifra más burda como $1.32$ deja $f\approx-0.30$, así que los decimales adicionales importan si la raíz alimenta cálculos posteriores.

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   Obtén el valor exacto con Cardano. Deprimiendo la cúbica con $x=t-\frac{b}{3a}=t-\frac{11}{2}$ queda $t^{3}+pt+q=0$ con

   $p=\frac{3ac-b^{2}}{3a^{2}}=-\frac34,\qquad q=\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}=-\frac{1249}{4}.$

   Como $\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}=\frac{1560001}{64}-\frac{1}{64}=24375$ y $\sqrt{24375}=25\sqrt{39}$, Cardano da

   $x=\sqrt[3]{\frac{1249}{8}+25\sqrt{39}}+\sqrt[3]{\frac{1249}{8}-25\sqrt{39}}-\frac{11}{2}.$

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   Verifica la forma cerrada con alta precisión. Al evaluar esa expresión con aritmética de 60 dígitos se obtiene

   $x=1.32108373084131024332679\ldots,$

   y al sustituirla resulta $f(x)\approx 2\times10^{-53}$ ✓. Fíjate en que la segunda raíz cúbica es la de un número diminuto, $\frac{1249}{8}-25\sqrt{39}\approx 5.004\times10^{-5}$, así que evaluar esta forma en coma flotante ordinaria pierde precisión: en la práctica conviene citar el valor obtenido por bisección.