Simplificar la expresión (a al cuadrado por b más a por b al cuadrado) por (a al cuadrado menos a b más b al cuadrado) menos a b a la cuarta potencia.

Step-by-step solution

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   Buscar la estructura antes de desarrollar. Desarrollar directamente da seis productos y es fácil equivocarse. El segundo paréntesis $a^2-ab+b^2$ es la señal inconfundible del segundo factor de la suma de los cubos, así que el plan es lograr que el primer paréntesis quede como $a+b$ por algo.

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   Factorizar $ab$ en el primer paréntesis. Los dos términos comparten $ab$:

   $a^2b+ab^2 = ab(a+b)$

   La expresión queda

   $ab(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab^4$

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   Aplicar la identidad de la suma de los cubos. Como

   $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$

   el producto de tres paréntesis se convierte en un único producto sencillo:

   $ab(a^3+b^3)-ab^4$

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   Distribuir $ab$.

   $ab \cdot a^3 + ab \cdot b^3 - ab^4 = a^4b + ab^4 - ab^4$

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   Cancelar los términos opuestos. $ab^4$ y $-ab^4$ suman cero, y queda

   $a^4b$

   Que el término engorroso $b^4$ se cancele es la señal de que la vía de la suma de los cubos era la prevista.

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   Comprobar con números. Con $a=2$ y $b=3$: la expresión original vale $(12+18)(4-6+9)-2\cdot81=30\cdot7-162=210-162=48$, y $a^4b=16\cdot3=48$. Coinciden.