Resuelve para x: 0.8x + (10000 − x)(0.21) = 10000(0.25). Da el valor exacto como fracción y como decimal.

Step-by-step solution

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   Lee la estructura: es una ecuación de promedio ponderado (de mezclas). Una cantidad $x$ con tasa $0.8$ se mezcla con el resto, $10000-x$, que lleva tasa $0.21$, y la mezcla debe promediar $0.25$ sobre las $10000$ unidades. Reconocer la forma dice de antemano que la respuesta ha de estar entre $0$ y $10000$, y más cerca de $0$ porque $0.25$ queda mucho más próximo a $0.21$ que a $0.8$.

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   Evalúa el miembro derecho y distribuye en el izquierdo. Primero, $10000\times 0.25=2500$. Luego

   $0.21(10000-x)=2100-0.21x,$

   así que la ecuación queda

   $0.8x+2100-0.21x=2500.$

   Distribuir sobre el paréntesis entero, incluido el $-x$, es el paso delicado.

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   Agrupa los términos semejantes. Los dos términos en $x$ se funden:

   $0.8x-0.21x=0.59x,$

   y queda

   $0.59x+2100=2500.$

   El coeficiente $0.59$ es la diferencia entre las dos tasas, $0.80-0.21$ — una comprobación útil de la aritmética.

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   Despeja $x$ y conserva la respuesta exacta. Restar $2100$ da $0.59x=400$, y al dividir:

   $x=\frac{400}{0.59}=\frac{40000}{59}\approx 677.966.$

   Multiplicar numerador y denominador por $100$ convierte la división decimal en una fracción exacta; $40000/59$ no se simplifica porque $59$ es primo y no divide a $40000$.

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   Comprueba la mezcla. Con $x=\tfrac{40000}{59}$ la otra parte es $10000-\tfrac{40000}{59}=\tfrac{550000}{59}$, y

   $0.8\cdot\frac{40000}{59}+0.21\cdot\frac{550000}{59}=\frac{32000+115500}{59}=\frac{147500}{59}=2500 ✓.$

   El resultado también pasa la prueba de plausibilidad del paso 1: $678$ es una porción pequeña de $10000$, tal como se esperaba.