Resolver x⁴ + x³ + x² + x = 4.553.

Step-by-step solution

1. 1

   Factorizar primero para contar las raíces reales. Puesto que

   $g(x)=x^4+x^3+x^2+x=x(x+1)(x^2+1)$

   y $x^2+1>0$, la función es negativa solo en $(-1,0)$ y crece como $x^4$ a ambos lados. Una recta horizontal a la altura $4.553>0$ corta entonces la gráfica exactamente dos veces: una en la rama derecha y otra en la izquierda. Saberlo de antemano evita detenerse tras encontrar una sola raíz.

2. 2

   Acotar la raíz positiva. $g(1)=1+1+1+1=4$, por debajo del objetivo, y $g(1.1)=1.4641+1.331+1.21+1.1=5.1051$, por encima. Así que la raíz está en $(1,1.1)$.

3. 3

   Afinarla. Bisecando (o con un paso de Newton desde $1.05$) se obtiene

   $x_1=1.0524735$

   Comprobación: $g(1.0524735)=4.55300$. El valor $1.054381$, que se cita a menudo, da $g=4.5742$, excesivo por $0.021$: como la derivada vale aquí unos $11$, un error de $0.002$ en $x$ se nota con claridad.

4. 4

   Acotar la raíz negativa. $g(-1.69)=4.4966$ y $g(-1.70)=4.6291$ dejan en medio el valor $4.553$. Así que la segunda raíz está en $(-1.70,-1.69)$.

5. 5

   Afinarla.

   $x_2=-1.6942810,\qquad g(x_2)=4.55300$

   Un valor de $-1.853257$ queda muy fuera de este intervalo: de hecho $g(-1.853257)=7.0124$, que no se acerca en absoluto a $4.553$.

6. 6

   Enunciar la respuesta. Las soluciones reales son

   $x\approx 1.0524735\quad\text{y}\quad x\approx -1.6942810$

   y las dos raíces restantes forman un par complejo conjugado, ya que una cuártica tiene cuatro raíces en total.