Resuelve la inecuación |x + 1| + |x − 1| ≤ 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee el miembro izquierdo como una distancia total. Como $|x+1|=|x-(-1)|$, la expresión es la distancia de $x$ a $-1$ más la distancia de $x$ a $1$. Cualquier punto entre $-1$ y $1$ tiene distancia total exactamente $2$ (la separación entre los dos anclajes), y salirse de ese tramo añade el doble de lo que se sobrepasa. Así que la inecuación pregunta: ¿qué puntos caben dentro de un presupuesto total de recorrido de $3$?

2. 2

   Divide en los puntos de corte. Las dos expresiones dentro de las barras cambian de signo en $x=-1$ y $x=1$, así que hay que tratar tres rangos: $x\le -1$, $-1\le x\le 1$ y $x\ge 1$.

3. 3

   Caso $x\le -1$. Se cumple $x+1\le 0$ y $x-1<0$, así que ambas barras cambian de signo:

   $-(x+1)-(x-1)=-2x\le 3\;\Longrightarrow\;x\ge -\frac32$

   (Al dividir entre $-2$ se invierte la desigualdad.) Intersecando con $x\le -1$ queda $-\frac32\le x\le -1$.

4. 4

   Caso $-1\le x\le 1$. Ahora $x+1\ge 0$ pero $x-1\le 0$, de modo que

   $(x+1)-(x-1)=2\le 3$

   La $x$ se cancela por completo: la afirmación es cierta para todo $x$ de este rango, así que el intervalo entero $[-1,1]$ pertenece a la solución. Este es el fondo plano que anticipaba el paso 1.

5. 5

   Caso $x\ge 1$. Ambas expresiones son no negativas:

   $(x+1)+(x-1)=2x\le 3\;\Longrightarrow\;x\le \frac32$

   Intersecando con $x\ge 1$ queda $1\le x\le \frac32$.

6. 6

   Une las tres piezas y comprueba la frontera.

   $\left[-\tfrac32,-1\right]\cup[-1,1]\cup\left[1,\tfrac32\right]=\left[-\tfrac32,\tfrac32\right]$

   Comprobación: en $x=\frac32$ la suma vale $2.5+0.5=3$, así que el extremo está incluido; en $x=1.6$ vale $2.6+0.6=3.2>3$, correctamente excluido. De forma equivalente, la respuesta es sencillamente $|x|\le \frac32$.