Resolver la ecuación de cuarto grado 2x^4 - 9x^3 + 3x^2 + 11x - 3 = 0 y hallar sus cuatro raíces.

Step-by-step solution

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   Listar las raíces racionales candidatas. Por el teorema de la raíz racional, toda raíz racional $p/q$ tiene $p$ divisor del término independiente $-3$ y $q$ divisor del coeficiente principal $2$. Eso da

   $\pm 1,\quad \pm 3,\quad \pm\tfrac12,\quad \pm\tfrac32$

   Ocho números que probar, mucho mejor que adivinar.

2. 2

   Probarlas y encontrar la primera raíz. Escribiendo $f(x)=2x^4-9x^3+3x^2+11x-3$:

   $f(1)=2-9+3+11-3=4,\qquad f(3)=162-243+27+33-3=-24$
   $f(-1)=2+9+3-11-3=0$

   Así que $x=-1$ es raíz y $(x+1)$ es factor. Nótese que $x=3$ no es raíz aunque los coeficientes inviten a pensarlo: siempre conviene evaluar en lugar de suponer.

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   Dividir entre $(x+1)$ con división sintética. Bajando los coeficientes $2,\,-9,\,3,\,11,\,-3$ y usando $-1$:

   $2 \quad -11 \quad 14 \quad -3 \quad | \ 0$

   de modo que

   $2x^4-9x^3+3x^2+11x-3=(x+1)\left(2x^3-11x^2+14x-3\right)$

   El resto $0$ confirma la división; la cuártica se ha convertido en un problema cúbico.

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   Buscar una raíz de la cúbica en la misma lista de candidatos. Para $g(x)=2x^3-11x^2+14x-3$:

   $g(1)=2,\qquad g(3)=-6,\qquad g\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac32,\qquad g\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac{27}{4}-\tfrac{99}{4}+21-3=0$

   Así que $x=\tfrac32$ es raíz y aporta el factor $(2x-3)$. Al dividir se obtiene

   $2x^3-11x^2+14x-3=(2x-3)\left(x^2-4x+1\right)$

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   Resolver la cuadrática restante. El último factor no tiene raíces racionales, así que se usa la fórmula general sobre $x^2-4x+1=0$:

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3$

6. 6

   Ensamblar y verificar la factorización. En total

   $2x^4-9x^3+3x^2+11x-3=(x+1)(2x-3)\left(x^2-4x+1\right)$

   Al desarrollar el lado derecho se recuperan los coeficientes originales $2,\,-9,\,3,\,11,\,-3$. Una segunda comprobación usa Vieta: las cuatro raíces suman $-1+\tfrac32+(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)=\tfrac92$, que coincide con $-\frac{-9}{2}$, y su producto es $-1\cdot\tfrac32\cdot(4-3)=-\tfrac32$, que coincide con $\frac{-3}{2}$.