Factoriza 3x³ + 7x² − 4 por completo.

Step-by-step solution

1. 1

   Construye la lista de candidatos a partir de los dos coeficientes extremos. Una raíz racional $p/q$ necesita $p\mid 4$ y $q\mid 3$:

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ \pm\tfrac13,\ \pm\tfrac23,\ \pm\tfrac43$

2. 2

   Prueba los enteros fáciles. Con $f(x)=3x^3+7x^2-4$:

   $f(-1)=-3+7-4=0$

   así que $x=-1$ es una raíz y $(x+1)$ es un factor.

3. 3

   Divide entre $(x+1)$ con división sintética. Coeficientes $3,\,7,\,0,\,-4$ y divisor $-1$:

   $3\quad 4\quad -4\ \ |\ \ 0$

   lo que da el cociente $3x^2+4x-4$ con resto cero.

4. 4

   Factoriza la cuadrática con el método AC. $ac=3\cdot(-4)=-12$, y necesitamos una pareja que sume $4$: son $6$ y $-2$:

   $3x^2+6x-2x-4=3x(x+2)-2(x+2)=(3x-2)(x+2)$

5. 5

   Arma el resultado y verifica.

   $3x^3+7x^2-4=(x+1)(x+2)(3x-2)$

   Desarrollando: $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$, y $(x^2+3x+2)(3x-2)=3x^3-2x^2+9x^2-6x+6x-4=3x^3+7x^2-4$ $\checkmark$. Las tres raíces son $-1$, $-2$ y $\tfrac23$; observa que $f\left(\tfrac23\right)=3\cdot\tfrac{8}{27}+7\cdot\tfrac49-4=\tfrac89+\tfrac{28}{9}-4=0$ $\checkmark$.