Resolver x⁶ + 4x⁵ − 4x⁴ + 4x³ − 7x² − 8x + 10 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Buscar primero una raíz racional. Por el teorema de la raíz racional, toda raíz racional divide al término independiente $10$: los candidatos son $\pm1,\pm2,\pm5,\pm10$. Probar $x=1$ es lo más rápido, porque basta con sumar los coeficientes:

   $1+4-4+4-7-8+10=0$

   Así que $x=1$ es raíz y $(x-1)$ es factor. Una ecuación de grado seis es por lo demás inabordable con fórmulas, de modo que encontrar una raíz es la primera brecha imprescindible.

2. 2

   Dividir entre $(x-1)$ por división sintética. Con los coeficientes $1,4,-4,4,-7,-8,10$ y el divisor de valor $1$, el cociente es

   $x^{5}+5x^{4}+x^{3}+5x^{2}-2x-10$

   y el resto es $0$, lo que confirma la raíz.

3. 3

   Factorizar la quíntica por agrupación. Los coeficientes se emparejan como $(1,5),(1,5),(-2,-10)$ —cada par en razón $1:5$, que es la firma de un factor común $(x+5)$:

   $x^{5}+5x^{4}+x^{3}+5x^{2}-2x-10=x^{4}(x+5)+x^{2}(x+5)-2(x+5)=(x+5)\left(x^{4}+x^{2}-2\right)$

4. 4

   Tratar la cuártica como una cuadrática en $x^{2}$. Con $y=x^{2}$,

   $y^{2}+y-2=(y+2)(y-1)\ \Longrightarrow\ x^{4}+x^{2}-2=\left(x^{2}+2\right)\left(x^{2}-1\right)=\left(x^{2}+2\right)(x-1)(x+1)$

   Nótese la segunda aparición de $(x-1)$: de ahí sale la raíz doble.

5. 5

   Armar la factorización completa.

   $(x-1)^{2}(x+1)(x+5)\left(x^{2}+2\right)=0$

   Al desarrollarla de vuelta se reproducen exactamente los coeficientes originales $1,4,-4,4,-7,-8,10$ ✓, que es la comprobación de que toda la cadena de pasos se sostiene.

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   Leer las seis raíces. Igualando a cero cada factor:

   $x=1\ \text{(doble)},\quad x=-1,\quad x=-5,\quad x=\pm i\sqrt2$

   Contadas con multiplicidad son seis raíces, como exige el teorema fundamental del álgebra para un polinomio de grado seis. Cuatro son reales (con el $1$ repetido) y dos forman un par imaginario conjugado.