Resuelva (x + 25)/(x + 125) − x/(x + 100) = 1/10, indicando las restricciones sobre x.

Step-by-step solution

1. 1

   Escriba primero las restricciones. Ninguno de los denominadores puede anularse, así que

   $x\ne-125,\qquad x\ne-100.$

   Ambas raíces candidatas tendrán que contrastarse con estas al final.

2. 2

   Reduzca a común denominador y observe la cancelación. Usando $(x+125)(x+100)$:

   $(x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500,\qquad x(x+125)=x^{2}+125x,$

   de modo que el numerador es

   $\left(x^{2}+125x+2500\right)-\left(x^{2}+125x\right)=2500.$

   Todo lo que lleva $x$ se cancela y queda una constante sobre una cuadrática:

   $\frac{2500}{(x+125)(x+100)}=\frac{1}{10}.$

   Atención al signo: restar en este orden deja $+2500$, mientras que invertir las dos fracciones dejaría $-2500$, y ese signo es justamente lo que decide si existen o no soluciones reales.

3. 3

   Multiplique en cruz y forme la cuadrática. De $25000=(x+125)(x+100)=x^{2}+225x+12500$:

   $x^{2}+225x-12500=0.$

   El término independiente ahora es negativo, así que por las relaciones de Vieta las dos raíces tienen signos opuestos: una positiva y una negativa.

4. 4

   Resuelva y simplifique el radical. El discriminante es

   $\Delta=225^{2}+4(12500)=50625+50000=100625>0,$

   así que hay dos raíces reales. Extrayendo cuadrados, $100625=625\times161$ y $161=7\times23$ es libre de cuadrados, lo que da $\sqrt{100625}=25\sqrt{161}$. Por lo tanto

   $x=\frac{-225\pm25\sqrt{161}}{2}.$

5. 5

   Aproxime y verifique. Con $\sqrt{161}\approx12.6886$:

   $x\approx46.107\qquad\text{o}\qquad x\approx-271.107.$

   Ninguna coincide con $-100$ ni con $-125$, así que ambas son válidas. Sustituyendo $x=46.107$: $\frac{71.107}{171.107}-\frac{46.107}{146.107}=0.41557-0.31557=0.10000$ ✓, y la raíz negativa se comprueba con la misma precisión ✓. Compare con la ecuación invertida $\frac{x}{x+100}-\frac{x+25}{x+125}=\frac1{10}$, cuyo discriminante es $-99375$ y que no tiene ninguna solución real.