Factoriza o halla las raíces de x³ − 5x² − 7x + 41.

Step-by-step solution

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   Busca raíces racionales. Por el teorema de la raíz racional, con coeficiente principal $1$ toda raíz racional debe dividir al término independiente $41$ — y $41$ es primo, así que los únicos candidatos son $\pm1$ y $\pm41$:

   $f(1)=1-5-7+41=30,\qquad f(-1)=-1-5+7+41=42$

   y en $f(\pm 41)$ domina $41^3$, que no se acerca ni de lejos a cero. Por lo tanto no hay ninguna raíz racional, y la cúbica no se factoriza sobre $\mathbb{Q}$.

2. 2

   No te detengas ahí: cuenta los cambios de signo. Las raíces irracionales siguen existiendo, y una cúbica siempre tiene al menos una. Tabulando $f$:

   $f(-3)=-10,\quad f(0)=41,\quad f(3)=2,\quad f(4)=-3,\quad f(5)=6$

   Eso son tres cambios de signo: en $(-3,0)$, en $(3,4)$ y en $(4,5)$. Así que esta cúbica tiene tres raíces reales distintas, no una — la afirmación habitual de que posee una única raíz real cerca de $-2.721$ es doblemente falsa, puesto que además $f(-2.721)=2.88$.

3. 3

   Confirma las tres raíces con el discriminante de la derivada. $f'(x)=3x^2-10x-7$ tiene raíces $x=\frac{10\pm\sqrt{184}}{6}$, es decir un máximo local cerca de $x=-0.60$ y un mínimo local cerca de $x=3.93$. Como $f(-0.60)\approx 43.2>0$ y $f(3.93)\approx -3.0<0$, la curva sube por encima del eje, baja por debajo de él y vuelve a subir — exactamente la configuración que produce tres cortes reales.

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   Localiza cada raíz por bisección. Estrechando cada intervalo hasta la precisión de la máquina:

   $x_1=-2.7875545,\qquad x_2=3.2205249,\qquad x_3=4.5670296$

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   Verifica con las fórmulas de Vieta. Para $x^3-5x^2-7x+41$ las tres raíces deben cumplir $\sum x_i=5$, $\sum_{i<j}x_ix_j=-7$ y $x_1x_2x_3=-41$. Numéricamente los valores dan $5.000$, $-7.000$ y $-41.000$ ✓, así que las tres raíces son correctas y no falta ninguna.

6. 6

   Enuncia la conclusión. El polinomio es irreducible sobre los racionales y, sin embargo, sí se factoriza sobre los reales como

   $f(x)\approx (x+2.7875545)(x-3.2205249)(x-4.5670296)$