Simplifique 6x por (x − y) al cuadrado, más 3 por (y − x) al cubo.

Step-by-step solution

1. 1

   Relacione los dos paréntesis. Son opuestos entre sí: $y-x=-(x-y)$. Esto importa porque elevar a una potencia trata el signo de manera distinta según la paridad:

   $(y-x)^2=(x-y)^2\quad\text{pero}\quad (y-x)^3=-(x-y)^3$

   Un exponente par absorbe el menos; uno impar lo conserva.

2. 2

   Reescriba todo en términos de $(x-y)$. Sustituyendo la identidad del cubo,

   $6x(x-y)^2+3(y-x)^3=6x(x-y)^2-3(x-y)^3$

   Ahora los dos términos están construidos con el mismo paréntesis, que es justo lo que hace posible factorizar.

3. 3

   Identifique y extraiga el factor común. Los coeficientes $6$ y $3$ comparten el factor $3$, y la menor potencia del paréntesis es $(x-y)^2$, así que el factor común máximo es $3(x-y)^2$:

   $6x(x-y)^2-3(x-y)^3=3(x-y)^2\bigl[2x-(x-y)\bigr]$

4. 4

   Simplifique lo que queda dentro del corchete.

   $2x-(x-y)=2x-x+y=x+y$

   La resta cambia los dos signos interiores; escribir $2x-x-y=x-y$ sería el error estándar aquí.

5. 5

   Escriba el resultado y verifique.

   $6x(x-y)^2+3(y-x)^3=3(x-y)^2(x+y)$

   Compruebe en $x=3$, $y=1$: la expresión original da $6(3)(2)^2+3(-2)^3=72-24=48$, y la forma factorizada da $3(2)^2(4)=48$ ✓.