Resolver la ecuación |−6 + 4x| = |10 + x|.

Step-by-step solution

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   Ordena primero cada valor absoluto. Reordenar los términos dentro de las barras no cambia nada, porque $|-6+4x| = |4x-6|$ y $|10+x| = |x+10|$. La ecuación queda

   $|4x - 6| = |x + 10|$

   Esta forma hace que las dos expresiones lineales sean fáciles de comparar.

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   Usa la regla para dos valores absolutos iguales. Elevar al cuadrado ambos miembros da $A^2 = B^2$, es decir, $(A-B)(A+B) = 0$. Así que $|A| = |B|$ equivale a exactamente dos posibilidades lineales:

   $A = B \quad \text{o} \quad A = -B$

   Por eso este problema necesita dos casos y no los cuatro que saldrían si quitaras las barras de forma independiente.

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   Caso 1: los interiores son iguales.

   $4x - 6 = x + 10$

   $3x = 16 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{16}{3}$

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   Caso 2: los interiores son opuestos.

   $4x - 6 = -(x + 10) = -x - 10$

   $5x = -4 \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{4}{5}$

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   Comprueba los dos candidatos en la ecuación original. Elevar al cuadrado puede introducir raíces extrañas, así que la sustitución no es opcional. Para $x = \tfrac{16}{3}$:

   $\left|-6 + \tfrac{64}{3}\right| = \tfrac{46}{3}, \qquad \left|10 + \tfrac{16}{3}\right| = \tfrac{46}{3}$

   Para $x = -\tfrac45$:

   $\left|-6 - \tfrac{16}{5}\right| = \tfrac{46}{5}, \qquad \left|10 - \tfrac45\right| = \tfrac{46}{5}$

   Los dos miembros coinciden, así que ninguna de las raíces es extraña.

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   Enuncia el conjunto solución. Dos valores distintos satisfacen la ecuación:

   $x = \frac{16}{3} \quad \text{o} \quad x = -\frac{4}{5}$

   Geométricamente son los dos puntos donde se cortan las gráficas en forma de V $y = |4x-6|$ e $y = |x+10|$.