Escribe la fracción 256/625 como una potencia.

Step-by-step solution

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   Factoriza primero cada parte como potencia de un primo. Dividiendo repetidamente se ve que

   $256=2^{8},\qquad 625=5^{4}$

   Esto ya responde a la pregunta en una forma, $\dfrac{2^{8}}{5^{4}}$, pero los exponentes son distintos, así que la fracción todavía no se puede escribir como una sola potencia.

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   Busca un exponente común. Como $8=4\cdot 2$, reagrupa el numerador como una potencia cuarta:

   $2^{8}=\left(2^{2}\right)^{4}=4^{4}$

   Ahora el numerador y el denominador llevan el mismo exponente $4$: $256=4^4$ y $625=5^4$.

3. 3

   Pliega los exponentes iguales en una sola potencia de una fracción. La regla del cociente de potencias, $\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$, se aplica justamente cuando los exponentes coinciden:

   $\frac{256}{625}=\frac{4^{4}}{5^{4}}=\left(\frac{4}{5}\right)^{4}$

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   Comprueba el valor. $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{4}=\dfrac{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}=\dfrac{256}{625}$. ✓ Observa también que $\dfrac{256}{625}$ ya es irreducible, porque $2$ y $5$ no comparten ningún factor — por eso no se pudo simplificar nada.

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   Ten claro qué forma hay que entregar. $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{4}$ es la potencia única que se pedía; $\dfrac{2^{8}}{5^{4}}$ es la forma con factores primos. Las dos son correctas, pero solo la primera es una potencia de una sola base.