Factoriza por completo f² - 16g² + 24gh - 9h².

Step-by-step solution

1. 1

   Busca un cuadrado perfecto escondido entre los tres últimos términos. Aíslalos y saca factor común $-1$:

   $-16g^2+24gh-9h^2=-\left(16g^2-24gh+9h^2\right)$

   Dentro del paréntesis, $16g^2=(4g)^2$, $9h^2=(3h)^2$ y el término central coincide con $2(4g)(3h)=24gh$ — así que es un cuadrado perfecto, $(4g-3h)^2$.

2. 2

   Reescribe toda la expresión como una diferencia de dos cuadrados.

   $f^2-16g^2+24gh-9h^2=f^2-(4g-3h)^2$

   La razón para agrupar $3+1$ en lugar de $2+2$ es precisamente que esos tres términos forman un cuadrado mientras que $f^2$ queda solo como otro.

3. 3

   Aplica $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ con $a=f$ y $b=4g-3h$:

   $f^2-(4g-3h)^2=\bigl[f-(4g-3h)\bigr]\bigl[f+(4g-3h)\bigr]$

4. 4

   Quita los paréntesis interiores, cuidando los signos.

   $f-(4g-3h)=f-4g+3h,\qquad f+(4g-3h)=f+4g-3h$

   Observa que el primer paréntesis cambia ambos signos interiores — el error clásico es escribir $f-4g-3h$.

5. 5

   Desarrolla de vuelta y prueba numéricamente. $(f-4g+3h)(f+4g-3h)=f^2-(4g-3h)^2=f^2-16g^2+24gh-9h^2$ ✓. En $f=5$, $g=1$, $h=1$: la original es $25-16+24-9=24$, y $(5-4+3)(5+4-3)=4\cdot 6=24$ ✓. Ninguno de los dos paréntesis se factoriza más, así que la factorización está completa.