Dadas f(x) = 5x + 2 y g(x) = x − 6, hallar (f + g)(x) e indicar su dominio.

Step-by-step solution

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   Escribir qué significa el signo más entre dos funciones. Sumar funciones se define punto a punto: para cada entrada $x$ se evalúan las dos reglas y se suman los resultados. En símbolos,

   $(f+g)(x)=f(x)+g(x).$

   Aquí no hay ninguna operación nueva que aprender: todo el trabajo consiste en sustituir las dos fórmulas.

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   Sustituir ambas reglas, dejando cada una entre paréntesis. Los paréntesis importan en cuanto aparece una resta más adelante, así que conviene adquirir el hábito desde ahora:

   $(f+g)(x)=(5x+2)+(x-6).$

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   Quitar los paréntesis y agrupar los términos semejantes. Como cada paréntesis va precedido de un signo más, nada cambia de signo:

   $(5x+2)+(x-6)=\underbrace{5x+x}_{\text{términos en x}}+\underbrace{2-6}_{\text{constantes}}.$

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   Reunir cada grupo. El coeficiente de $x$ es $5+1=6$, y las constantes dan $2-6=-4$:

   $(f+g)(x)=6x-4.$

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   Obtener el dominio a partir de los dominios de las piezas, no del resultado. Una suma está definida exactamente donde lo están ambas funciones originales. Tanto $f$ como $g$ son polinomios, definidos para todo número real, así que

   $\text{dominio}(f+g)=(-\infty,\infty).$

   Este orden importa: en cocientes como $f/g$ la fórmula simplificada puede ocultar un valor que sigue habiendo que excluir, así que el dominio se lee siempre en las piezas originales.