Resolver la ecuación x³ = 9x² + 22x.

Step-by-step solution

1. 1

   Igualar la ecuación a cero en lugar de dividir entre $x$. Dividir ambos lados entre $x$ resulta tentador, pero borraría en silencio la raíz $x=0$. Se pasan todos los términos al lado izquierdo:

   $x^3-9x^2-22x=0$

2. 2

   Factorizar el factor común $x$. Todos los términos contienen al menos una $x$:

   $x\left(x^2-9x-22\right)=0$

   Así se conserva $x=0$ como solución genuina en vez de perderla.

3. 3

   Factorizar la cuadrática. Dos números cuyo producto es $-22$ y cuya suma es $-9$ son $-11$ y $+2$:

   $x^2-9x-22=(x-11)(x+2)\quad\Longrightarrow\quad x(x-11)(x+2)=0$

4. 4

   Aplicar la propiedad del producto nulo a cada factor.

   $x=0,\qquad x=11,\qquad x=-2$

5. 5

   Comprobar las tres en la ecuación original. En $x=11$: $11^3=1331$ y $9(121)+22(11)=1089+242=1331$ $\checkmark$. En $x=-2$: $-8$ y $9(4)-44=36-44=-8$ $\checkmark$. En $x=0$: $0=0$ $\checkmark$. Una cúbica tiene a lo sumo tres raíces, así que la lista está completa.