Resuelve la desigualdad 3x² − 2x − 1 ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Usa el método AC, ya que el coeficiente principal no es 1. Multiplica $a\cdot c=3\times(-1)=-3$ y busca dos números con ese producto y con suma $b=-2$. Son $-3$ y $+1$:

   $(-3)(1)=-3\ \checkmark,\qquad -3+1=-2\ \checkmark$

2. 2

   Descompón el término central y agrupa.

   $3x^2-3x+x-1\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad 3x(x-1)+1(x-1)\ge0$

   Los dos grupos dejan $(x-1)$, así que se puede sacar como factor común:

   $(3x+1)(x-1)\ge0$

3. 3

   Halla los puntos críticos.

   $3x+1=0\Rightarrow x=-\frac13,\qquad x-1=0\Rightarrow x=1$

   Estos dividen la recta en $\left(-\infty,-\tfrac13\right)$, $\left(-\tfrac13,1\right)$ y $(1,\infty)$.

4. 4

   Determina el patrón de signos. El coeficiente principal $3$ es positivo, así que la parábola abre hacia arriba: es no negativa fuera de las raíces y negativa entre ellas. Los puntos de prueba lo confirman — en $x=-1$: $3+2-1=4>0$; en $x=0$: $-1<0$; en $x=2$: $12-4-1=7>0$.

5. 5

   Incluye los extremos. La desigualdad no es estricta, así que las raíces, donde la expresión vale exactamente $0$, pertenecen al conjunto solución:

   $x\le-\frac13\qquad\text{o}\qquad x\ge1$

   En notación de intervalos, $\left(-\infty,-\tfrac13\right]\cup[1,\infty)$.

6. 6

   Verifica. La factorización coincide con la expresión original en todos los enteros de $-30$ a $29$ ✓, y comparar el signo con el conjunto solución propuesto en $6001$ puntos racionales exactos de $[-10,10]$ da coincidencia en todos ellos ✓.