Resolver x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.057072 = 0.

Step-by-step solution

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   Anticipar el orden de magnitud de las raíces antes de calcular. El coeficiente de $x^{2}$ es enorme comparado con los demás, así que una raíz tiene que estar cerca de $245.711$ (ella sola casi equilibra el término cúbico), y las dos restantes tienen que ser diminutas, aproximadamente las raíces de la casi cuadrática $-245.711x^{2}+2.764156x+0.057072\approx 0$. Prever una dispersión de $10^{4}$ en magnitud ya indica qué comprobaciones serán sensibles y cuáles no.

2. 2

   Localizar la raíz grande. Para $x$ cerca de $245.711$ la cúbica está dominada por $x^{2}(x-245.711)$, y la iteración de Newton desde $x_{0}=245.7$ converge de inmediato a

   $x_{3}=245.6997489169$

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   Localizar las dos raíces pequeñas mediante cambios de signo. Evaluando $f$ cerca de cero: $f(-0.011)<0$, $f(0)=0.057072>0$, $f(0.022)<0$, así que hay una raíz en $(-0.011,0)$ y otra en $(0,0.022)$. La iteración de Newton con aritmética de 50 dígitos da

   $x_{1}=-0.0106203880,\qquad x_{2}=0.0218714711$

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   Verificar por sustitución, no solo con Vieta. Esta es la salvaguarda decisiva. La suma de las raíces debe ser $245.711$ y el producto $-0.057072$, pero la raíz grande domina la suma de tal manera que unas raíces pequeñas equivocadas parecen pasar la prueba igualmente: el par incorrecto $-0.0150152414,\ 0.0262657963$ satisface con cuatro decimales la comprobación de Vieta sobre la suma (su producto, $-0.09690$, falla de largo) y, sin embargo, al sustituir cualquiera de los dos en $f$ se obtiene $-0.0398$, no $0$.

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   Confirmar cada raíz de forma directa. Al sustituir los valores correctos, $f(x_{1})$, $f(x_{2})$ y $f(x_{3})$ quedan todos por debajo de $10^{-40}$ en aritmética de 50 dígitos ✓. Solo la sustitución en el polinomio original distingue una raíz genuina de un candidato plausible que falla por poco.

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   Enunciar las tres raíces.

   $x\approx-0.0106203880,\qquad x\approx 0.0218714711,\qquad x\approx 245.6997489169$

   Las tres son reales, lo que concuerda con que el discriminante sea positivo; la cúbica cruza el eje tres veces, dos de ellas a menos de una centésima del origen.