Resolver x³ − 15x² + 75x − 125 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Contrastar los coeficientes con el patrón del cubo. Desarrollar la plantilla da

   $(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$

   Igualando el coeficiente de $x^2$: $-3a=-15$, luego $a=5$. Ahora ambos coeficientes restantes deben coincidir, y coinciden: $3a^2=75$ ✓ y $-a^3=-125$ ✓. Que pasen las tres comprobaciones es lo que autoriza el atajo; si una sola hubiera fallado, la cúbica no sería un cubo perfecto.

2. 2

   Reescribir la ecuación.

   $x^3-15x^2+75x-125=(x-5)^3=0$

3. 3

   Resolver el cubo. Un cubo vale cero solo cuando su base vale cero, así que

   $x-5=0\quad\Rightarrow\quad x=5$

4. 4

   Registrar la multiplicidad. El factor $(x-5)$ aparece tres veces, así que $x=5$ es una raíz triple. Una cúbica tiene tres raíces contadas con multiplicidad y aquí las tres coinciden: no hay otras raíces reales ni complejas.

5. 5

   Verificar y leer la geometría. Sustituyendo: $125-375+375-125=0$ ✓. Además $f'(x)=3x^2-30x+75=3(x-5)^2$ y $f''(x)=6x-30$, de modo que $f'(5)=0$ y también $f''(5)=0$. Por eso la gráfica se aplana por completo en $x=5$ antes de cruzar: es la huella visual de una raíz triple.