Resuelve la desigualdad compuesta −1 < x² − x − 1 < 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Sepárala en dos inecuaciones independientes. Una desigualdad encadenada con el miembro central no lineal no se puede tratar sumando una constante a las tres partes y leyendo un intervalo: el centro no es monótono. Tiene que convertirse en dos condiciones separadas unidas por «y»:

   $x^2 - x - 1 > -1 \quad \text{y} \quad x^2 - x - 1 < 1$

2. 2

   Resuelve la inecuación de la izquierda. Sumando $1$: $x^2 - x > 0$, es decir $x(x-1) > 0$. Un producto de dos factores lineales es positivo fuera de las raíces, así que

   $x < 0 \quad \text{o} \quad x > 1$

3. 3

   Resuelve la inecuación de la derecha. Restando $1$: $x^2 - x - 2 < 0$, es decir $(x-2)(x+1) < 0$. Un producto es negativo estrictamente entre sus raíces, así que

   $-1 < x < 2$

4. 4

   Intersecta los dos conjuntos solución. Superponer $\left((-\infty,0) \cup (1,\infty)\right)$ con $(-1,2)$ elimina todo lo que queda fuera de $(-1,2)$ y también el bloque cerrado $[0,1]$ del centro:

   $(-1,\,0) \cup (1,\,2)$

   El hueco existe porque en $[0,1]$ la parábola baja hasta un mínimo de $-1.25$ en $x = 0.5$, lo que viola la cota inferior.

5. 5

   Verifica en puntos de prueba. En $x = -0.5$: $0.25 + 0.5 - 1 = -0.25$, dentro de $(-1,1)$. En $x = 0.5$: $-1.25$, fuera. En $x = 1.5$: $2.25 - 1.5 - 1 = -0.25$, dentro. En $x = 2$: $4 - 2 - 1 = 1$, que no cumple la cota superior estricta, así que el extremo queda correctamente excluido.