Simplificar (x + 1)³ - 2(x + 1)² (x - 1) - (x + 1)(x - 1)² + 2(x + 1)³.

Step-by-step solution

1. 1

   Agrupar primero el término repetido. El primero y el último son términos semejantes en $(x+1)^3$:

   $(x+1)^3+2(x+1)^3=3(x+1)^3$

   así que la expresión queda

   $3(x+1)^3-2(x+1)^2(x-1)-(x+1)(x-1)^2$

   Hacer esto antes de desarrollar elimina un tercio del trabajo.

2. 2

   Sacar el factor común $(x+1)$. Todos los términos contienen al menos una copia:

   $(x+1)\Big[3(x+1)^2-2(x+1)(x-1)-(x-1)^2\Big]$

3. 3

   Desarrollar solo el corchete. Con $(x+1)^2=x^2+2x+1$, $(x+1)(x-1)=x^2-1$ y $(x-1)^2=x^2-2x+1$:

   $3\left(x^2+2x+1\right)-2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-2x+1\right)=3x^2+6x+3-2x^2+2-x^2+2x-1$

   Los términos en $x^2$ dan $3-2-1=0$, así que el corchete queda solo lineal:

   $8x+4$

4. 4

   Multiplicar de vuelta y factorizar.

   $(x+1)(8x+4)=8x^2+12x+4=4\left(2x^2+3x+1\right)=4(x+1)(2x+1)$

   Que los términos cúbicos se cancelen es el verdadero contenido de este ejercicio: una suma de productos de grado 3 se ha reducido al grado $2$.

5. 5

   Verificar en dos valores. En $x=0$: la original vale $1-2(1)(-1)-1(1)+2=1+2-1+2=4$, y $4(1)(1)=4\;\checkmark$. En $x=2$: la original vale $27-2(9)(1)-3(1)+54=27-18-3+54=60$, y $4(3)(5)=60\;\checkmark$.