Desarrolla (1/3)(x − 2)² − 3 a la forma estándar.

Step-by-step solution

1. 1

   Eleva el paréntesis al cuadrado antes de multiplicar por la fracción. El orden de operaciones pone el exponente por delante de la multiplicación:

   $(x-2)^2=(x-2)(x-2)=x^2-4x+4$

   Meter $\tfrac13$ dentro del paréntesis antes de elevar al cuadrado sería un error: daría $\left(\tfrac13 x-\tfrac23\right)^2$, una expresión distinta.

2. 2

   Distribuye el $\tfrac13$ entre los tres términos.

   $\frac{1}{3}\left(x^2-4x+4\right)=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}$

3. 3

   Resta la constante $3$ usando un común denominador. Escribe $3=\tfrac93$:

   $\frac{4}{3}-3=\frac{4}{3}-\frac{9}{3}=-\frac{5}{3}$

4. 4

   Escribe la forma estándar.

   $\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$

   La forma canónica de la que partimos nos dice que el vértice está en $(2,-3)$ y que la parábola abre hacia arriba, aunque achatada por el factor $\tfrac13$.

5. 5

   Comprueba en dos valores. En $x=2$: la forma canónica da $0-3=-3$; la forma estándar da $\tfrac43-\tfrac83-\tfrac53=-3$ $\checkmark$. En $x=5$: la forma canónica da $\tfrac13(9)-3=0$; la forma estándar da $\tfrac{25}{3}-\tfrac{20}{3}-\tfrac53=0$ $\checkmark$.