Resolver la ecuación |x| + |x − 1| = |x − 2| + |x − 3|.

Step-by-step solution

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   Localiza los puntos de quiebre y parte la recta. Cada módulo cambia de fórmula donde su interior llega a cero, en $x=0,1,2,3$. Estos puntos cortan la recta real en cinco intervalos, y en cada uno se puede quitar toda barra con un signo definido.

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   Interpreta la ecuación antes de calcular. El primer miembro es la distancia total de $x$ a $0$ y a $1$; el segundo es la distancia total a $2$ y a $3$. Como el par $\{2,3\}$ queda por completo a la derecha de $\{0,1\}$, cabe esperar la solución en algún punto intermedio; y esta lectura predice además que habrá exactamente una.

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   Resuelve los tres intervalos exteriores. Para $x\le 0$: $(-x)+(1-x)=(2-x)+(3-x)$ da $1-2x=5-2x$, una contradicción. Para $2\le x\le 3$: $x+(x-1)=(x-2)+(3-x)$ da $2x-1=1$, o sea $x=1$, que no está en $[2,3]$ — se rechaza. Para $x\ge 3$: $2x-1=2x-5$, otra contradicción.

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   Resuelve el intervalo 0 <= x <= 1. Aquí $|x|=x$, $|x-1|=1-x$, $|x-2|=2-x$, $|x-3|=3-x$:

   $x+(1-x)=(2-x)+(3-x)\ \Longrightarrow\ 1=5-2x\ \Longrightarrow\ x=2,$

   que queda fuera de $[0,1]$ — se rechaza. Contrasta siempre el candidato con el intervalo que lo produjo; ahí es donde se tuerce la mayoría de los intentos.

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   Resuelve el intervalo 1 <= x <= 2. Ahora $|x|=x$, $|x-1|=x-1$, $|x-2|=2-x$, $|x-3|=3-x$:

   $x+(x-1)=(2-x)+(3-x)\ \Longrightarrow\ 2x-1=5-2x\ \Longrightarrow\ 4x=6\ \Longrightarrow\ x=\tfrac32,$

   y $\tfrac32$ sí está en $[1,2]$, así que se acepta.

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   Comprueba la solución en la ecuación original. En $x=\tfrac32$: el primer miembro es $\tfrac32+\tfrac12=2$ y el segundo es $\tfrac12+\tfrac32=2$ ✓. Así que la solución única es $x=\tfrac32$, el punto medio de los dos pares, exactamente como sugería la lectura por distancias.