Halla los puntos de intersección de la recta y = -4x + 2.5 y la curva y = 3.34x/(1 + 2.34x).

Step-by-step solution

1. 1

   Iguala las dos expresiones de $y$. En una intersección ambas fórmulas dan la misma altura, así que

   $-4x+2.5=\frac{3.34x}{1+2.34x}.$

   Anota la restricción $x\ne-\frac{1}{2.34}\approx-0.4274$, donde la curva racional tiene una asíntota vertical — cualquier raíz que cayera ahí habría que descartarla.

2. 2

   Quita el denominador. Multiplicando ambos lados por $1+2.34x$:

   $(-4x+2.5)(1+2.34x)=3.34x.$

   Desarrollando el lado izquierdo término a término:

   $-4x-9.36x^{2}+2.5+5.85x=-9.36x^{2}+1.85x+2.5.$

   Los productos cruzados son $-4x\cdot2.34x=-9.36x^{2}$ y $2.5\cdot2.34x=5.85x$; al combinar $-4x+5.85x$ sale el $1.85x$.

3. 3

   Agrupa en una cuadrática estándar. Pasando $3.34x$ al otro lado:

   $-9.36x^{2}+1.85x-3.34x+2.5=0\;\Longrightarrow\;-9.36x^{2}-1.49x+2.5=0,$

   y multiplicando por $-1$ para que el coeficiente principal sea positivo:

   $9.36x^{2}+1.49x-2.5=0.$

4. 4

   Aplica la fórmula general. Con $a=9.36$, $b=1.49$, $c=-2.5$:

   $\Delta=1.49^{2}-4(9.36)(-2.5)=2.2201+93.6=95.8201,\qquad\sqrt{\Delta}=9.788774,$

   $x=\frac{-1.49\pm9.788774}{18.72}\ \Longrightarrow\ x\approx0.4433106\ \text{o}\ x\approx-0.6024986.$

   Ninguno coincide con el valor excluido $-0.4274$, así que ambos sobreviven.

5. 5

   Halla los valores de $y$ y compruébalos en la ecuación racional. Usando la recta, $y=-4x+2.5$:

   $x=0.4433106\Rightarrow y=0.726758,\qquad x=-0.6024986\Rightarrow y=4.909994.$

   Sustituyendo en cambio en la curva: $\frac{3.34(0.4433106)}{1+2.34(0.4433106)}=0.726758$ ✓ y $\frac{3.34(-0.6024986)}{1+2.34(-0.6024986)}=4.909994$ ✓. Comprobar contra la otra ecuación, no contra la que se usó para calcular $y$, es lo que convierte esto en una verificación de verdad.