Resolver la ecuación (x + 8)(x + 3) = 9.

Step-by-step solution

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   Todavía no uses la regla del producto nulo. $(x+8)(x+3)=9$ no significa que $x+8=9$ o $x+3=9$. La propiedad del producto nulo solo funciona cuando el producto vale cero, así que primero hay que llevar la ecuación a la forma general.

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   Desarrolla y reduce.

   $(x+8)(x+3)=x^2+3x+8x+24=x^2+11x+24$

   $x^2+11x+24=9\quad\Longrightarrow\quad x^2+11x+15=0$

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   Comprueba si factoriza sobre los enteros. Hacen falta dos enteros de producto $15$ y suma $11$. Las únicas parejas de factores de $15$ son $1\cdot 15$ (suma $16$) y $3\cdot 5$ (suma $8$); ninguna suma $11$. En particular, la tentadora pareja $6$ y $5$ falla, porque $6\cdot 5=30\neq 15$. Así que esta cuadrática no admite factorización entera.

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   Confírmalo con el discriminante y aplica la fórmula general.

   $\Delta=11^2-4(1)(15)=121-60=61$

   $61$ es primo, así que no es un cuadrado perfecto, lo que demuestra que las raíces son irracionales:

   $x=\frac{-11\pm\sqrt{61}}{2}$

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   Evalúa y comprueba numéricamente. $\sqrt{61}\approx 7.8102$, de modo que

   $x\approx-1.5949\qquad\text{o}\qquad x\approx-9.4051$

   Sustituyendo $x\approx-1.5949$: $(6.4051)(1.4051)\approx 9.000$ $\checkmark$. Vieta da una segunda comprobación: las raíces suman $-11$ y multiplican $15$, en concordancia con los coeficientes.