Resuelve 0.02x² + 0.06x + 0.18 = 2.91. Da las soluciones exactas en forma radical y sus aproximaciones decimales.

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe primero la ecuación en la forma estándar. La fórmula general solo se aplica a $ax^{2}+bx+c=0$, así que antes de nada resta $2.91$ en ambos miembros:

   $0.02x^{2}+0.06x+0.18-2.91=0\;\Longrightarrow\;0.02x^{2}+0.06x-2.73=0.$

   Fíjate en que el término independiente queda negativo, lo que ya avisa de que las dos raíces tendrán signos opuestos (su producto $c/a$ es negativo).

2. 2

   Quita los decimales multiplicando todo por 100. Los coeficientes decimales vuelven penoso el cálculo del discriminante a mano e invitan a descuidos de redondeo. Multiplicar cada término por $100$ es una equivalencia, no una aproximación:

   $2x^{2}+6x-273=0.$

   Comprueba término a término: $0.02\times100=2$, $0.06\times100=6$, $-2.73\times100=-273$. Los tres ya son enteros.

3. 3

   Aplica la fórmula general con $a=2$, $b=6$, $c=-273$. Sustituyendo,

   $x=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4(2)(-273)}}{2(2)}=\frac{-6\pm\sqrt{36+2184}}{4}=\frac{-6\pm\sqrt{2220}}{4}.$

   La trampa de signos está en $-4ac=-4(2)(-273)=+2184$: dos signos menos dentro hacen el discriminante mayor, no menor. Como $2220>0$, hay dos raíces reales distintas.

4. 4

   Simplifica el radical y cancela el factor común. Extrae el mayor factor cuadrado de $2220$:

   $2220=4\cdot 555,\qquad \sqrt{2220}=2\sqrt{555},$

   y $555=3\cdot 5\cdot 37$ no tiene ningún factor cuadrado, así que ya está del todo simplificado. Entonces

   $x=\frac{-6\pm 2\sqrt{555}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{555}}{2}.$

   Cancelar el $2$ en las tres partes de la fracción es lo que convierte una respuesta fea en una limpia.

5. 5

   Aproxima y comprueba las dos raíces en la ecuación original. Con $\sqrt{555}\approx 23.5584$,

   $x\approx\frac{-3+23.5584}{2}\approx 10.2792,\qquad x\approx\frac{-3-23.5584}{2}\approx-13.2792.$

   Sustituyendo $x=10.2792$: $0.02(105.66)+0.06(10.2792)+0.18=2.1132+0.6168+0.18=2.9100$ ✓. La misma comprobación con $x=-13.2792$ devuelve también $2.91$ ✓. Las dos raíces son simétricas respecto del vértice $x=-1.5$, como tiene que ser.