Separar (4x¹⁰ − 5x⁹ − 20x⁴)/(4x²) en fracciones distintas y simplificar.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa la fracción única en tres. Una suma en el numerador siempre se puede dividir término a término: es la propiedad distributiva de la división, $\tfrac{a+b+c}{d}=\tfrac ad+\tfrac bd+\tfrac cd$. (Lo mismo no vale para una suma en el denominador, que es la confusión habitual.)

   $\frac{4x^{10}}{4x^{2}}-\frac{5x^{9}}{4x^{2}}-\frac{20x^{4}}{4x^{2}}$

2. 2

   Simplifica el primer término. Divide los coeficientes y resta los exponentes:

   $\frac{4x^{10}}{4x^{2}}=1\cdot x^{10-2}=x^{8}$

3. 3

   Simplifica el segundo término. Aquí $5$ no se divide exactamente entre $4$, así que sobrevive una fracción:

   $\frac{5x^{9}}{4x^{2}}=\frac54x^{7}$

4. 4

   Simplifica el tercer término.

   $\frac{20x^{4}}{4x^{2}}=5x^{2}$

5. 5

   Vuelve a montar la expresión con los signos originales.

   $\boxed{x^{8}-\frac54x^{7}-5x^{2}}\qquad(x\neq 0)$

6. 6

   Comprueba multiplicando de vuelta. $4x^{2}\left(x^{8}-\tfrac54x^{7}-5x^{2}\right)=4x^{10}-5x^{9}-20x^{4}$ ✓, que es el numerador original. Un control numérico rápido en $x=1$: la expresión original vale $\tfrac{4-5-20}{4}=-\tfrac{21}{4}=-5.25$, y la respuesta da $1-1.25-5=-5.25$ ✓.