Coloca el signo de desigualdad correcto entre 3 − 2a y 3 − 2b, según la relación que haya entre a y b.

Step-by-step solution

1. 1

   Trabaja hacia atrás desde las dos expresiones. Para comparar $3-2a$ y $3-2b$, deshaz las operaciones que las construyeron a partir de $a$ y $b$: primero la resta a $3$, luego la multiplicación por $-2$. En cada paso hay que revisar si conserva o invierte el orden.

2. 2

   Restar la misma constante conserva el orden. Quitar $3$ en los dos lados deja la comparación

   $-2a \quad \underline{\phantom{<}} \quad -2b$

   Sumar o restar el mismo número nunca cambia el sentido de una desigualdad.

3. 3

   Dividir entre −2 invierte el orden. Es la única regla que voltea el signo. Así que la relación entre $-2a$ y $-2b$ es la contraria a la relación entre $a$ y $b$, y lo mismo sigue valiendo después de volver a sumar $3$.

4. 4

   Enuncia los tres casos.

   $a < b \;\Longrightarrow\; 3-2a > 3-2b, \qquad a > b \;\Longrightarrow\; 3-2a < 3-2b, \qquad a = b \;\Longrightarrow\; 3-2a = 3-2b$

5. 5

   Verifica con números. Toma $a = 1$, $b = 4$ (así $a < b$): $3 - 2 = 1$ y $3 - 8 = -5$, y en efecto $1 > -5$. Toma $a = 5$, $b = 2$: $3 - 10 = -7$ y $3 - 4 = -1$, y $-7 < -1$. El sentido queda invertido en los dos casos, exactamente como se predijo.

6. 6

   Compara con un coeficiente positivo. La expresión $4a - 3$ frente a $4b - 3$ se comporta al contrario: multiplicar por el $4$ positivo conserva el orden, así que de $a < b$ se sigue $4a - 3 < 4b - 3$. El signo del multiplicador lo explica todo.