Resuelve el sistema x² + y = 2 y −x² + y = 10.

Step-by-step solution

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   Detecta la eliminación para la que está construido el sistema. Las dos ecuaciones contienen $+x^{2}$ y $-x^{2}$, así que basta con sumarlas para que $x$ desaparezca por completo: no hace falta sustituir ni elevar al cuadrado.

2. 2

   Suma las ecuaciones.

   $(x^{2}+y)+(-x^{2}+y)=2+10\quad\Longrightarrow\quad 2y=12\quad\Longrightarrow\quad y=6$

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   Sustituye y = 6 en cualquiera de las dos ecuaciones. Usando la primera:

   $x^{2}+6=2\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=-4$

4. 4

   Interpreta la ecuación imposible. El cuadrado de cualquier número real es $\ge 0$, así que $x^{2}=-4$ no tiene solución real. Como $y$ quedó forzado a valer $6$, no existe ninguna pareja real $(x,y)$ que cumpla ambas ecuaciones.

   $\boxed{\text{Sin solución real}}$

5. 5

   Confirma con la segunda ecuación y con la geometría. Sustituir $y=6$ en $-x^{2}+y=10$ da $-x^{2}=4$, es decir $x^{2}=-4$ otra vez: la misma contradicción, así que no hubo ningún desliz algebraico. Geométricamente, $y=2-x^{2}$ es una parábola hacia abajo con vértice $(0,2)$ e $y=10+x^{2}$ es una parábola hacia arriba con vértice $(0,10)$; la primera nunca sube por encima de $y=2$ y la segunda nunca baja de $y=10$, así que sus gráficas no pueden cortarse.

6. 6

   Anota las soluciones complejas, por si el problema las admite. Sobre los números complejos $x^{2}=-4$ da $x=\pm 2i$, así que las parejas $(2i,6)$ y $(-2i,6)$ cumplen ambas ecuaciones. Opciones de respuesta como $(4,-14)$, $(-4,-14)$ o $(0,2)$ no cumplen ninguna de las dos ecuaciones y se descartan por sustitución directa.