La función f(x) = |x − 1| + 5 se traslada 4 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha. Escribe la ecuación de la nueva función.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee el vértice en la forma dada. En $f(x)=|x-h|+k$ el vértice es $(h,k)$, así que $f(x)=|x-1|+5$ tiene su esquina en

   $(1,5)$

   Las dos traslaciones moverán ese único punto, y los brazos de la V mantienen pendientes $\pm 1$ en todo momento.

2. 2

   Desplaza 2 a la derecha sustituyendo $x\to x-2$.

   $\left|(x-2)-1\right|+5=|x-3|+5$

   Observa que la constante interior pasó de $1$ a $3$: desplazar a la derecha aumenta el valor de $h$, aunque la operación realizada dentro de las barras haya sido una resta.

3. 3

   Desplaza 4 hacia arriba sumando 4 por fuera.

   $|x-3|+5+4=|x-3|+9$

4. 4

   Escribe la respuesta y confirma que el vértice se movió bien.

   $f(x)=|x-3|+9,\qquad \text{vértice }(3,9)$

   De $(1,5)$ a $(3,9)$ hay $2$ a la derecha y $4$ hacia arriba $\checkmark$: el desplazamiento del vértice es la verificación más limpia disponible.

5. 5

   Comprueba un punto que no sea el vértice. La gráfica original pasa por $(0,6)$, ya que $|0-1|+5=6$. Trasladar ese punto $2$ a la derecha y $4$ hacia arriba predice $(2,10)$, y la nueva fórmula da $|2-3|+9=1+9=10\;\checkmark$. Observa además que toda la gráfica queda ahora en $y=9$ o por encima, así que esta función no tiene ningún punto de corte con el eje $x$.