Resuelve la inecuación doble 7 < 60(1 + x)/7 < 8.

Step-by-step solution

1. 1

   Predice el signo de la respuesta. En $x=0$ la expresión central vale $\tfrac{60}{7}\approx8.57$, que queda por encima de la ventana objetivo $(7,8)$. Así que $1+x$ tiene que reducirse por debajo de $1$, lo que significa que $x$ saldrá negativa: una comprobación útil para el resultado final.

2. 2

   Multiplica los tres miembros por 7. Como $7>0$, se conservan los dos signos de desigualdad:

   $49<60(1+x)<56$

3. 3

   Divide los tres miembros entre 60. De nuevo el divisor es positivo:

   $\frac{49}{60}<1+x<\frac{56}{60}=\frac{14}{15}$

   Simplificar ya $\tfrac{56}{60}$ a $\tfrac{14}{15}$ deja más limpio el paso siguiente.

4. 4

   Resta 1 en los tres miembros.

   $\frac{49}{60}-\frac{60}{60}<x<\frac{14}{15}-\frac{15}{15}$

   $-\frac{11}{60}<x<-\frac{1}{15}$

   Las dos cotas son negativas, exactamente como se predijo en el paso 1.

5. 5

   Comprueba el orden de las cotas. Con el denominador común $60$: $-\tfrac{11}{60}<-\tfrac{4}{60}$ ✓, así que el intervalo es auténtico y no vacío, a diferencia de la versión incoherente con las cotas $8$ y $7$ intercambiadas.

6. 6

   Verifica los dos extremos de forma exacta. En $x=-\tfrac{11}{60}$: $1+x=\tfrac{49}{60}$ y $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{49}{60}=\tfrac{49}{7}=7$, exactamente la cota inferior ✓. En $x=-\tfrac{1}{15}$: $1+x=\tfrac{14}{15}$ y $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{14}{15}=\tfrac{56}{7}=8$ ✓. Las dos desigualdades son estrictas, así que los propios extremos quedan excluidos.