Simplifique ((a − 2)/(a + 2) − (a + 2)/(a − 2)) ÷ (12a²/(4 − a²)).

Step-by-step solution

1. 1

   Combine el paréntesis sobre el común denominador (a+2)(a−2).

   $\frac{(a-2)^{2}-(a+2)^{2}}{(a+2)(a-2)}$

   El numerador es a su vez una diferencia de cuadrados: $(A^{2}-B^{2})=(A-B)(A+B)$ con $A=a-2$, $B=a+2$ da $(-4)(2a)=-8a$. (Desarrollar también funciona: $a^{2}-4a+4-a^{2}-4a-4=-8a$.)

2. 2

   Escriba el paréntesis de forma compacta. Como $(a+2)(a-2)=a^{2}-4$,

   $\text{paréntesis}=\frac{-8a}{a^{2}-4}$

3. 3

   Convierta la división en una multiplicación por el recíproco.

   $\frac{-8a}{a^{2}-4}\cdot\frac{4-a^{2}}{12a^{2}}$

4. 4

   Use 4 − a² = −(a² − 4) para cancelar las cuadráticas. Los dos factores de signo opuesto se cancelan y dejan $-1$:

   $\frac{-8a}{a^{2}-4}\cdot\frac{-(a^{2}-4)}{12a^{2}}=\frac{8a}{12a^{2}}$

   Pasar por alto ese cambio de signo es el único punto donde la respuesta puede salir negativa por error.

5. 5

   Reduzca la fracción que queda. Cancele $4a$ arriba y abajo:

   $\frac{8a}{12a^{2}}=\frac{2}{3a}$

   $\boxed{\dfrac{2}{3a}}\qquad(a\neq 0,\ a\neq\pm 2)$

6. 6

   Compruebe con un valor. En $a=1$: el paréntesis vale $\tfrac{-1}{3}-\tfrac{3}{-1}=-\tfrac13+3=\tfrac83$, y el divisor es $\tfrac{12}{3}=4$, así que el cociente es $\tfrac{8}{12}=\tfrac23$. La respuesta da $\tfrac{2}{3(1)}=\tfrac23$ ✓.