Sean x e y reales positivos con x + y = 1. ¿Cuáles son correctas? A: xy tiene mínimo 1/4. B: 1/x + 1/y tiene mínimo 4. C: x² + y² tiene mínimo 1/2. D: √x + √y tiene máximo 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea el único grado de libertad. Con $x+y=1$ y ambos positivos, escribe $x=t$, $y=1-t$ con $0<t<1$. Cada cantidad de abajo es función solo de $t$, y por simetría los valores extremos suelen darse o bien en $t=\tfrac12$, o bien en los límites $t\to 0^{+}$, $t\to 1^{-}$.

2. 2

   A es falsa: 1/4 es el máximo de xy. Por MA–MG, $xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^{2}=\dfrac14$, con igualdad en $x=y=\tfrac12$. Cuando $t\to 0^{+}$, $xy=t(1-t)\to 0$, así que $xy$ no tiene mínimo positivo; su ínfimo es $0$. Incorrecta.

3. 3

   B es correcta. Como $x+y=1$,

   $\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}$

   y $xy\le\tfrac14$ por el paso anterior, así que $\dfrac{1}{xy}\ge 4$, con igualdad en $x=y=\tfrac12$. Correcta.

4. 4

   C es correcta. Usando $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=1-2xy$ y $xy\le\tfrac14$,

   $x^{2}+y^{2}\ge 1-2\left(\frac14\right)=\frac12$

   con igualdad de nuevo en $x=y=\tfrac12$. Correcta.

5. 5

   D es falsa: el máximo es √2, no 2. Elevando al cuadrado,

   $\left(\sqrt x+\sqrt y\right)^{2}=x+y+2\sqrt{xy}=1+2\sqrt{xy}\le 1+2\left(\frac12\right)=2$

   así que $\sqrt x+\sqrt y\le\sqrt2\approx 1.414$, valor que se alcanza en $x=y=\tfrac12$. El valor $2$ no se alcanza nunca. Incorrecta.

6. 6

   Concluye y comprueba con valores.

   $\boxed{\text{B y C}}$

   En $x=y=\tfrac12$: $xy=0.25$, $\tfrac1x+\tfrac1y=4$, $x^{2}+y^{2}=0.5$, $\sqrt x+\sqrt y=1.414$. En $x=0.1$, $y=0.9$: $xy=0.09$, $\tfrac1x+\tfrac1y=11.11>4$, $x^{2}+y^{2}=0.82>0.5$, $\sqrt x+\sqrt y=1.265<1.414$ — cada afirmación de arriba se comporta tal como se ha dicho.