Desarrollar y agrupar términos semejantes en ((a1(x − y) + b1)(x − y) + (a2 y + b2) y)/x.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconocer la forma anidada (de Horner). Cada mitad tiene la forma $(\text{coeficiente}\cdot t+\text{constante})\cdot t$, que es una cuadrática escrita para minimizar el número de multiplicaciones: la primera con $t=x-y$ y la segunda con $t=y$. Desplegar una capa a la vez es más seguro que desarrollar todo de golpe.

2. 2

   Desplegar cada mitad como una cuadrática en su propia variable.

   $\left(a_1(x-y)+b_1\right)(x-y)=a_1(x-y)^2+b_1(x-y)$

   $\left(a_2y+b_2\right)y=a_2y^2+b_2y$

   así que el numerador es $a_1(x-y)^2+b_1(x-y)+a_2y^2+b_2y$.

3. 3

   Desarrollar el cuadrado y el paréntesis lineal. Usando $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:

   $a_1(x-y)^2=a_1x^2-2a_1xy+a_1y^2,\qquad b_1(x-y)=b_1x-b_1y$

   Cada término del paréntesis recibe el coeficiente, incluido el término central $-2a_1xy$, que es el más fácil de perder.

4. 4

   Agrupar términos semejantes entre las dos mitades. Solo los términos en $y^2$ y en $y$ pueden fusionarse:

   $a_1y^2+a_2y^2=(a_1+a_2)y^2,\qquad -b_1y+b_2y=(b_2-b_1)y$

   El numerador queda

   $a_1x^2-2a_1xy+(a_1+a_2)y^2+b_1x+(b_2-b_1)y$

5. 5

   Dividir término a término si se quiere la forma totalmente desglosada. Con $x\neq 0$,

   $a_1x-2a_1y+\frac{(a_1+a_2)y^2}{x}+b_1+\frac{(b_2-b_1)y}{x}$

   Solo se simplifican los términos que contienen $x$; los términos en $y^2$ y en $y$ conservan una $x$ en el denominador, así que esta forma no es un polinomio.

6. 6

   Comprobar con números. Se toma $a_1=1,b_1=2,a_2=3,b_2=4,x=5,y=1$. Numerador original: $(1\cdot 4+2)\cdot 4+(3+4)\cdot 1=24+7=31$. Forma agrupada: $25-10+4\cdot 1+10+2\cdot 1=31$ ✓. Al dividir entre $x=5$ se obtiene $6.2$ por ambos caminos.